El gat de Schrödinger: Moviment amb acceleració constant

El moviment d'una partícula que te acceleració constant es molt corrent a la natura. Per exemple, prop de la superfície de la terra tots els objectes cauen verticalment amb acceleració de la gravetat constant ( sempre que es pugi despreciar la resistència de l'aire ). Si una partícula te una acceleració constant a, la seva acceleració mitja en qualsevol interval de temps es també a. Es a dir:

$a_{m}=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$

Si la velocitat es $v_0$ en el temps t=0 i v al cap de cert temps t, la acceleració corresponent es:

$a=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}=\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}$

Si reajustem algebraicament aquesta equació obtenim v en funció de t:

$v=v_{0}+at$

Per una acceleració constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la velocitat mitja es el valor mig de les velocitats inicial i final. ( Aquesta relació es valida nomes si la acceleració es constant.) Si $v_0$ es la velocitat inicial y v la velocitat final, la velocitat mitja serà:

$v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)$

El desplaçament serà:

$\Delta_{x}=x-x_{0}=v_{m}t=\frac{1}{2}(v_{0}+v)t$

Podem eliminar v substituint $v=v_{0}+at$ de la equació $v=v_{0}+at$

$\Delta_{x}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)t=\frac{1}{2}(v_{0}+v_{0}at)t=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$

Per tant el desplaçament es:

$\Delta_{x}=x-x_{0}$ $=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$

El terme $v_{0}t$ representa el desplaçament que tindria lloc si a fos 0 i el terme $\frac{1}{2}at^{2}$ es el desplaçament addicional degut a la acceleració constant.
Eliminant t de $v=v_{0}+at$ i $v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)$ s'obté una expressió entre $\Delta_{x}$ , a, v i $v_0$ .
De la equació $v=v_{0}+at$ , $t=\frac{v-v_{0}}{a}$ i substituint en $v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)$ obtenim:

$\Delta_{x}=v_{m}t=$ $\frac{1}{2}(v_{0}+v)t=$ $\frac{1}{2}(v_{0}+v)\frac{v-v_{0}}{a}=$ $\frac{v^{2}-v^{2}_{0}}{2a}$

es a dir:

$v^{2}=v^{2}_{0}+2a\Delta_{x}$

Aquesta ultima equació es molt útil, per exemple, si es tracte de determinar la velocitat d'una pilota que s'ha deixat caure des-de certa altura x quan no ens interessa saber el temps de caiguda.

3 comentaris:

Unknown ha dit...: me aburroooooooo.... veig que has recuperat els apunts de 8e d'EGB.; 23 de març del 2010, a les 17:40
Unknown ha dit...: Collons, encara no t'has fet seguidor !!!
Si no es tan dificil, nomes has de fer click on posa "segueix" !!!!
Aiii, aquesta neurona solitaria !!!; 23 de març del 2010, a les 20:45
Unknown ha dit...: Cony que complicat ho fas tot!
apa, ja esta! t'estava seguint de manera anonima, mira que hi ha opcions rares en aquest blog... senzillesa please, com google!!!; 23 de març del 2010, a les 22:38