El gat de Schrödinger: de febrer 2010

La velocitat instantània

Publicat per Francesc Serrat a 16:20 0 comentaris

La velocitat instantània pot semblar una paradoxa a primer cop d'ull. Sembla impossible poder definir la velocitat d'una partícula en un sol instant. Si està en un sol punt, com pot estar en moviment? i si no es mou, com pot tenir velocitat? Aquest problema desapareix quan entenem que, per observar el moviment i definirlo, hem d'observar la posició de la partícula en més d'un instant.
D'aquesta manera ens es possible definir la velocitat en un instant per un procés de pas al límit.
Aixi doncs, podem dir que, la velocitat instantània es el límit de la relació $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ quan $\Delta t$ s'aproxima al valor 0.

$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Aquest límit, s'anomena derivada de x respecte t

$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$

Per determinar una derivada, existeix una regla molt útil.
Si $x=Ct^n$ aleshores podem dir que $\frac{dx}{dt}=$ $Cnt^{n-1}$
En un moviment unidimensional la velocitat instantània pot ser positiva, negativa o nul.la.

El Número Pi

Publicat per Francesc Serrat a 23:19 0 comentaris

El número $\pi$ , es un número irracional i una de los constants més importants en les matemàtiques, i s'utilitza molt en física e ingeniería.
El primer que cal preguntar-se es, d'on surt el número $\pi$ .
El número $\pi$ es la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre. Per explicar-ho millor, imaginem que agafem un llauna de pepsi. Agafem un fil, i el tallem de la mida exacte del perímetre de la llauna. El número $\pi$ vol dir, que, el fil que hem tallat equival a 3 vegades el diàmtre de la llauna i, sobra un tallet petit, equivalent a 0,14. D'aqui el 3,14...
Al ser un número irracional, el seu valor no es pot calcular numèricament amb total precisió, sempre tindrem un altre decimal al final del últim número calculat. Com a curiositat, aqui tenim els primers mil decimals de $\pi$ :

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989

La primera referència que es te del número $\pi$ , data del 1650 ac, en el famos papirus de ahmes. Un document escrit en papirus que conté problemes matemàtics bàsics, fraccions, càlculs de àreas, volums, progressions, equacions lineals i trigonometria bàsica. En aquest papirus, el valor que es dona a $\pi$ es de $\frac{2^8}{3^4}$ aproximadament 3,1605.

Una de les primeres aproximacions, va ser la d'Arquimedes l'any 250 ac, que va calcular que el valor estaba comprès entre $3\frac{10}{71}$ i $3\frac{1}{7}$ ( 3,1408 i 3,1452).
Leonhard Euler va adoptar el conegut simbol $\pi$ al 1737 e instantanement es va convertir e una notació estàndard fins a dia d'avui.
En l'epoca moderna, un dels mètodes per comprobar l'eficàcia dels ordinadors era utilitzarlos per calcular decimals de $\pi$ . L'ay 1949, un ordinador ENIAC va calcular 2037 decimals en unes 70 hores. L'any 1966 un IBM 7030 va arribar a 250.000 decimals en 8 hores i 23 minuts.
Ja en el segle XXI, l'any 2004, un super ordinador Hitachi va estar treballant 500 hores per arribar a calcular 1,351 bilions de decimals.

Tot i no ser una constant física, el número $\pi$ s'utilitza moltissim en equacions que descriuen principis fonamentals de l'univers.

Equació del camp de Einstein de la realtivitat general

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

La constant cosmològica

$\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho$

Llei de Coulomb

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$

I per acabar alguns exemples de $\pi$ en càlcul matemàtic

Fórmula de Leibniz

$\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Euler

$\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}$

Fórmula de Stirling

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

El desplaçament i la velocitat.

Publicat per Francesc Serrat a 16:03 0 comentaris

En física existeixen 3 grans branques de la mecànica, que s'utilitzen per explicar tot el que ens envolta.
La mecànica Relativista, que s'utilitza per explicar els moviments i comportaments dels astres, planetes, etc... La mecànica quàntica, que explica el comportament de les partícules a nivell atòmic i subatòmic, i la mecànica Newtoniana, o mecànica clàssica, que s'utilitza per explicar el moviment del mon que ens envolta, a escala humana, per dir-ho d'alguna manera.
La mecànica clàssica es la primera que s'aprèn, i el primer concepte a tractar es el desplaçament i la velocitat en una dimensió.

Pensem en un cotxe que esta en la posició X inicial $Xi$ en l'instant T incial $\t_{\i}$ $Ti$ i en la posició X final $Xf$ en un instant posterior al T final $Tf$ . La variació del cotxe $xf-xi$ s'anomena desplaçament. En física i matemàtiques s'acostuma a utilitzar el simbol $\Delta$ ( delta ), per indicar variació o increment de una magnitud. Així, la variació de x, es a dir, el desplaçament,
s'escriu: $\Delta$ $x=xf-xi$

La velocitat mitja $vm$ es defineix com el quocient entre $\Delta$ $x$
i l'interval de temps $\Delta$ $t=tf-ti$ ,
per tant: $vm=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Per exemple, un atleta corre desde el punt "a", situat a 200m de la sortida fins el punt "b", situat a 300m de la sortida. Quant surt del punt "a" el crono marca "0:01:08", i quan arriba al punt "b", el crono marca "0:01:20". Quina es la velocitat mitja del atleta?

$vm=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ $=\frac{\ 300m-200m}{20s-8s}=\frac{\ 100m}{12segons}=8,34m/s$

El Desplaçament i la velocitat mitja poden ser tant positives con negatives. Un resultat positiu indica que el moviment en la direcció x es positiva.
El mòdul de la velocitat mitja, de un objecte, es el quocient entre la distància total recorreguda per el objecte i el temps total desde el principi fins el final.

$Modul de la velocitat mitja=\frac{distancia total}{temps total}=\frac{s}{t}$

La distància total i el temps total son sempre positius, per tant, el mòdul de la velocitat mitja serà sempre positiu.

Latex

Publicat per Francesc Serrat a 0:44 0 comentaris

El llenguatge $LaTeX$ es un sistema de composició de textos, pensant especialment per a documents científics o tècnics, creat per Leslie Lamport al 1984.
Es molt útil per insertar formules matemàtiques a textos, com per exemple:

$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{b - a}{n} f\left( \left(k - 1/2 \right) \cdot \frac{b - a}{n} \right)$

Aquí deixo un enllaç a una pagina web, on hi ha un petit programa d'edicio d'aquest llenguatge, que es molt útil alhora d'escriure en blocs, pagines web, etc....
Espero sigui d'ajuda a tots aquells interesat a utilitzar $LaTeX$ dins Blogger.

http://watchmath.com/vlog/?p=1244