El gat de Schrödinger: Matemàtiques

Es mostren els missatges amb l'etiqueta de comentaris Matemàtiques. Mostrar tots els missatges

El planeta pla

Publicat per Francesc Serrat a 0:42 0 comentaris

Es tracta d'un curiós exercici geomètric que, a la meva manera de veure, ens intenta mostrar què passaria si ens trobem amb una quarta dimensió. Però com això és certament complicat, és millor centrar-nos al cas que ens presenta el vídeo: què passa quan un ésser tridimensional es topa amb un planeta bidimensional.

Equació de Drake i vida extraterrestre.

Publicat per Francesc Serrat a 23:36 0 comentaris

Hi ha vida extraterrestre?
Per tal de contestar aquesta pregunta, el radioastronom Frank Drake va idear una equació amb el propòsit de intentar estimar la quantitat de civilitzacions amb possibilitats de conèixer la manera d'emetre i rebre emissions de radio detectables.
L'equació, que va ser ideada l'any 1961, identifica els factors específics que, es creu, tenen un paper important en el desenvolupament de les civilitzacions. Tot i que en l'actualitat no hi han dades suficients per resoldre la equació, la comunitat científica ha acceptat la importància com a primera aproximació teòrica al problema, i diferents científics l'han utilitzat com a base per a plantejar diferents hipòtesis.

Pensem que el nostre sol es nomes una estrella de les

estrelles observables del nostre univers i la via lactea es nomes una de les 500.000.000.000 galàxies del univers. Aixi doncs, a primera vista, sembla que hi ha d'haver molta vida extraterrestre !!! Però... no. Ara veurem el per que.

L'equació de Drake diu:

On N representa el nombre de civilitzacions que es podrien comunicar a la nostra galàxia.

Ara analitzem els factors que formen l'equació:

es el ritme anual de formació d'estrelles "adequades" a la galàxia per tenir vida al seu sistema solar.

es la fracció d'estrelles que tenen planetes en orbita.

es la fracció d'aquests planetes orbitant dins la "ecosfera" ( es a dir, en una orbita suficientment allunyada de l'estrella per no ser massa calent, i suficientment aprop com per no ser massa fred per albergar vida ) de l'estrella.

es la fracció de planetes dins la ecosfera que han desenvolupat vida.

es la fracció de planetes dins la ecosfera amb vida, que han desenvolupat vida intel.ligent.

es la fracció de planetes dins la ecosfera amb vida intel.ligent, que ha desenvolupat una civilització capaç de crear tecnologia e intenta comunicar-se.

es el lapusus de temps, mesurat en anys, durant el qual una civilització intel.ligent i comunicativa pot existir.

Amb aquest paràmetres, Drake, va fer una estimació inicial del possible nombre de civilitzacions intel·ligents que poden haver a la via lactea. Ho va fer assignant els següents valors a cada paràmetre ( cal dir, que el resultat es sorprenent. ):

( 10 estrelles es formades per any )

( la meitat d'aquestes estrelles tenen planetes orbitant )

( cada una de les estrelles amb planetes te 2 planetes orbitant )

( el 100% d'aquests planetes poden desenvolupar vida )

( nomes el 1% desenvoluparia vida inteligent )

( nomes el 1% d'aquesta vida inteligent es podria comunicar )

( cada civilització perduraría 10.000 anys transmatent missatges )

Ara apliquem els valors a la equació:

Doncs si, nomes 10 possibles civilitzacions detectables en 500.000.000.000 galàxies.

No cal dir, que tant l'equació com el resultat donat per Drake va ser causa d'un munt de controvèrsies i discussions dins la comunitat científica.
Degut a la falta d'evidències i al avanç de la tecnologia, avui en dia els paràmetres han anat variant.
La Nasa i l'Agencia espacial europea, han detectat que el nombre de producció d'estrelles adequades per al desenvolupament de vida es de 7 per any. Tenint en compte que les estrelles aptes per a la vida son les de tipus K y G, i que el 12,1% son del tipus K i 7,6% son del tipus G, llavors nomes el 19,7% d'aquestes 7 estrelles son "apropiades" per al desenvolupament de vida intel.ligent. Aixo encara redueix mes les possibilitats de contactar amb vida intel.ligent.
Aixi doncs, encara que l'univers conegut sembla immens, les possibilitats de trobar altre vida intel.ligent son molt escasses. Sent aixi, si hi hagués alguna civilització que ens visites, dubt-ho molt que es dediques a abduir grangers de wisconsin per fer-los exploracions amb sondes anals !!!

El Número Pi

Publicat per Francesc Serrat a 23:19 0 comentaris

El número

, es un número irracional i una de los constants més importants en les matemàtiques, i s'utilitza molt en física e ingeniería.
El primer que cal preguntar-se es, d'on surt el número

.
El número

es la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre. Per explicar-ho millor, imaginem que agafem un llauna de pepsi. Agafem un fil, i el tallem de la mida exacte del perímetre de la llauna. El número

vol dir, que, el fil que hem tallat equival a 3 vegades el diàmtre de la llauna i, sobra un tallet petit, equivalent a 0,14. D'aqui el 3,14...
Al ser un número irracional, el seu valor no es pot calcular numèricament amb total precisió, sempre tindrem un altre decimal al final del últim número calculat. Com a curiositat, aqui tenim els primers mil decimals de

:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989

La primera referència que es te del número

, data del 1650 ac, en el famos papirus de ahmes. Un document escrit en papirus que conté problemes matemàtics bàsics, fraccions, càlculs de àreas, volums, progressions, equacions lineals i trigonometria bàsica. En aquest papirus, el valor que es dona a

es de

aproximadament 3,1605.

Una de les primeres aproximacions, va ser la d'Arquimedes l'any 250 ac, que va calcular que el valor estaba comprès entre

( 3,1408 i 3,1452).
Leonhard Euler va adoptar el conegut simbol

al 1737 e instantanement es va convertir e una notació estàndard fins a dia d'avui.
En l'epoca moderna, un dels mètodes per comprobar l'eficàcia dels ordinadors era utilitzarlos per calcular decimals de

. L'ay 1949, un ordinador ENIAC va calcular 2037 decimals en unes 70 hores. L'any 1966 un IBM 7030 va arribar a 250.000 decimals en 8 hores i 23 minuts.
Ja en el segle XXI, l'any 2004, un super ordinador Hitachi va estar treballant 500 hores per arribar a calcular 1,351 bilions de decimals.

Tot i no ser una constant física, el número

s'utilitza moltissim en equacions que descriuen principis fonamentals de l'univers.

Equació del camp de Einstein de la realtivitat general

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

La constant cosmològica

$\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho$

Llei de Coulomb

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$

I per acabar alguns exemples de

en càlcul matemàtic

Fórmula de Leibniz

$\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Euler

$\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}$

Fórmula de Stirling

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$